先证明一元五次方程到底有没有根。这事就是大名鼎鼎的数学小王子高斯干的，高斯证明了对于任何一个非零的一元n次复系数方程，都恰好有n个复数根。这个便是代数基本定理，即使一元二次方程的判别式小于零，它也有两个复数根。那么五次方程，就应该有五个根。“
“既然有根，那就应该有根解式吧，于是人们继续寻找，这个问题，便是由挪威的天才数学家尼尔斯·阿贝尔解决的。如果大家不认识阿贝尔是谁，也应该听说过数学界最高奖项之一的阿贝尔奖，就是以他的名字命名的。”
“阿贝尔并没有给出五次方程的根解式，他反而证明了五次方程不存在根解式。这就很厉害了，在数学界，想要证明一个东西不存在，往往要比证明它存在还要难上许多。”
“这个阿贝尔，就是我们今天要重点讲的一个人物。阿贝尔1802年出生于挪威，17岁的时候，他就写了一篇论文，内容是他发现了五次方程的根解式。后来他发现这篇论文有几个错误，于是潜心学习，继续修改，四年后，他得出了新的结论，一元五次方程没有根解式。他还推出了一个定理，叫做阿贝尔·鲁菲尼定理，但是因为这篇论文太过高深，当时的职业数学家都看不懂，所以一开始也没有引起人们的关注。”
“阿贝尔的这篇论文还曾经给高斯看过，高斯认为这不过是一个21岁小孩的无理取闹，这就意味着，阿贝尔想要把自己的论文发表出来都很难。幸好阿贝尔还有个朋友叫克雷勒，他创办了一个数学杂志，于是阿贝尔便将这篇论文发表在了这个上面，在之后的几年内，阿贝尔又在很多领域都做出过贡献，但主流数学家都不太接受，他还曾经将自己的论文寄给大名鼎鼎的数学家柯西，结果柯西更加高冷，压根看都不看。阿贝尔27岁那年英年早逝，直到他去世之后，人们才发现，他的论文，篇篇都是经典。”
“阿贝尔证明五次方程没有根解式的方法，其实就是我们在抽象代数中将要学习的群论，但是他没有系统地提出来，只是利用群论的思想，将这个问题解决。结果没过几年，又出现了一位天才，那就是伽罗瓦，伽罗瓦用同样用群论的思想得出了五次方程不存在根解式，他还给出了对于任意高次方程，在什么情况下有根解式，什么情况下没有根解式。而且伽罗瓦还首次提出了群的概念，开创了现代代数学的先河。”
“在我个人看来，伽罗瓦的成就在数学史中，足以排在前三。伽罗瓦1811年出生在法国，和阿贝尔类似，他在16岁那年同样以为自己发现了一元五次方程的根解式，但后来又自己证明五次方程不存在根解式。十九岁那年，伽罗瓦投身法国革命，20岁被捕入狱，21岁出狱后，与人决斗身亡，在决斗前三天，伽罗瓦仿佛意识到自己没办法在这次决斗中幸存下来，于是他便奋笔疾书写下一篇论文，这篇论文，便是群论的开端，又被称作伽罗瓦理论。但这篇论文始终没有被数学界所接受，一直到1843年，伽罗瓦去世十一年后，数学家刘维尔发现了这篇论文，将其发表，引起巨大轰动。伽罗瓦理论，终结了数学界四千多年的方程求解史，也开启了群论的开端。“
“伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。”