这句话似乎某种程度上印证了大个子弗菜迪的担心——黎曼真的是觉得他们实力还不足以给他当实验材料甚至不愿意单单从更好培养的小孩子培养起，而是决定将他们这些成年人也一块拔苗助长了吗?
但是，但是!
弗菜迪胸中无端地生出了一口豪气!
怎能让孩子们独自承受危险，他们这些老胳膊老腿应该为他们挡在危险之前才是。
如果黎曼知道他在想什么，估计只会憋出一句∶.……你想太多了。
黎曼和弗莱迪回到火堆群旁，那几个小孩还聚在一起叽叽喳喳，不知道在讨论些什么，于是黎导转头对弗莱迪说∶那就先把……嗯，十五岁以上的人聚集起来吧，我先给你们上课，艾尔他们还在讨论他们的想法。
黎曼看着面前坐了一排又一排的人，放了一个【召唤·光】，他又看向他们手中的一张纸一支笔∶呃，一张纸大概不够记笔记的，你们多拿几章。
等其他人准备完毕，黎曼也捏出了一道石板，准备开始上课。
你们这个年纪.…那就从实数开始讲起吧。
我知道你们对数的认知和魔法紧密关联，但是我还是决定从正常的逻辑来介绍数。
最简单，最容易被人类意识到，并且抽象概括出来的数，是正整数，我们再给它加一个0上去，就是自然数，自然数对加法和乘法是封闭的，这句话的意思是，1+1等于的2依旧是自然数，1乘2等于的2依旧是自然数，任意两个自然数相加，相乘，结果依旧是自然数，那么它对什么是不封闭的呢?
减法。
如果我面前摆有五只野果，我吃掉了三只，把这个过程抽象为一个算式的话就是5-3=2，这种减法是比较直观的，生活中常用的，最容易被抽象出来的，而且答案依旧在自然数里。
但是如果算式是3-5，我们就没法从自然数中找到一个数去当它的答案，但这个式子依旧是有意义的，比如我现在有三枚银币，但是我买了一本书，要五枚银币，那么此时我倒欠书店老板2枚银币。
由此我们将数的范围扩充到整数，也就是我们加入了负数的概念。
现在，整数对加法，乘法，减法都已经是封闭的了，但是它依旧不够好用。
我们会碰到这样的情况，现在有八个人出去采集野果，采到了十六个野果，那么我们自然地就会将16平分给8个人，并且得到算式16/8=2，也就是除法，整数对除法是不封闭的，比如2/3，得到的就不是整数，于是我们把数的范围扩充到有理数。
我知道你们更习惯把这个叫做分数，但是我更喜欢叫有理数，所以记下这个词然后以后你们就知道它代表什么了。
在这里我们对有理数进行一个定义，我们把有理数定义为p/q，其中pq是互质的整数，q为正整数，p为整数。
有理数的范围足够我们做大多数运算了，但是它并不囊括了所有数。
比如经典的根号2，我们来证明一下，根号2不为有理数，也就是说，根号二没法表示成分数。
我们采用一个反证法。
假设根号2可以表示为形式为p/q的有理数，其中pg是互质整数，那么我们可以得到一个等式p?=2q?。
我再次强调一遍，我们假设了p，q都是整数，那么这种情况下，p必不能为奇数，因为奇数的平方里不可能有2这个因数，对吗?
所以我们推出，p为偶数，偶数可以表示为2k，其中k为整数。
于是我们又得到了一个等式，2k?=q?，同理可得，q为偶数。
也就是说，从根号2是有理数这个前提，我们可以推出这样一个结果，p和q拥有一个共同的因数2，而这违背了最初的假设pq互质，由此可得这个前提条件是错误的。
根据类似的思路我们还可以证明